Leetcode-050-pow(x,n)

Leecode-050-Pow(x, n)

思路：快速幂

题目描述

Input: 2.00000, 10
Output: 1024.00000


Input: 2.10000, 3
Output: 9.26100

// 负数的情况
Input: 2.00000, -2
Output: 0.25000
Explanation: 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25

Solution1：快速幂+递归

• 「快速幂算法」的本质是分治算法

• 举个例子，如果我们要计算 x^64，我们可以按照：

  

  从 x 开始，每次直接把上一次的结果进行平方，计算 6 次就可以得到 x^64 的值

• 再比如我们要计算 x^77，我们可以按照

在这些步骤中，除了直接把上一次的结果进行平方，还要再结果进行平方后，额外乘一个x。

直接从左到右进行推导看上去很困难，因为在每一步中，我们不知道在将上一次的结果平方之后，还需不需要额外乘 x。但如果我们从右往左看，分治的思想就十分明显了：

算法总结如下：

Solution2 : 快速幂+迭代

由于递归需要使用额外的栈空间，我们试着将递归转写为迭代。

我们还是以 x^77 作为例子

• 贡献计算

• 二进制转换

• 因此我们借助整数的二进制拆分，就可以得到迭代计算的方法，一般地，如果整数 n 的二进制拆分为

• 总结：

1. 从x开始不断平方，得到

2. 如果n的第k个（从右往左，从 0 开始计数）二进制位是1，那么就将对应的贡献计入答案

Java

Solution : 快速幂+递归

class Solution{
    public double qucikMul(double x,long N){
        // 如果指数是N=0
        if (N == 0){
            return 1.0;
        }

        // 分而治之
        double y = qucikMul(x,N/2);
        // N奇数偶数判断
        return N % 2 == 0? y*y : y*y*x;
    }

    public double myPow(double x,int n){
        // 把n转换成long类型
        long N = n;
        return N >= 0? qucikMul(x,N) : 1.0/qucikMul(x,-N);
    }
}

• 时间复杂度：O（logn） n 是递归的层数
• 空间复杂度：O（logn） n 是递归的层数，递归自动使用栈空间

Solution : 快速幂+迭代

class Solution{
    double quickMul(double x,long N){
        double ans = 1.0;
        // 贡献的初始值为 x
        double x_contribute = x;

        // 在对N进行二进制拆分的同时计算答案
        while (N > 0){
            if (N%2 == 1){
                // 如果N二进制表示的最低位是1，要计入贡献
                ans *= x_contribute;
            }
            // 将贡献不断的平方
            x_contribute *= x_contribute;
            // 舍弃N二进制表示的最低位，
            // 这样我们每次只要判断最低位是不是1即可
            N/=2;
        }
        return ans;
    }

    public double myPow(double x,int n){
        long N = n;
        return N>0? quickMul(x,N) : 1.0/quickMul(x,-N);
    }
}

• 时间复杂度：O(logn) 对数字n进行二进制拆分的时间复杂度
• 空间复杂度：O(1)

Python

Solution :

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