计组-05-数据的表示(浮点数)

计组-05-数据的表示(浮点数)

前言

• 定点数的局限性

  • 在位数有限的情况下，无法增加数的表示范围

• 浮点数

  • 在位数有限的情况下，既扩大了数的表示范围，又保持了数的有效精度

• 本章节基本要点

1. 浮点数的表示形式

• 从科学计数法来理解浮点数的意义
  • r 为阶码的底 ： 浮点数的底，一般r = 2
  • E 为阶码 : 通常用补码或者移码表示
  • M 称为尾数 ： 通常用补码或者原码表示
  • 数字表示 N = r^E * M

• 定点数和浮点数的区别比较

小结：

• 尾数给出了一个小数，阶码指明了小数点要向前/向后移动多少位
• 尾数M的数值部分的位数n反映了浮点数的精度
• 阶码E反映了浮点数的表示范围以及小数点的实际位置

举个例子

2. 浮点数尾数的规格化

• 首先来看个问题
  • 尾数的最高位不是一个有效位，会造成精度的损失

• 解决问题的方案：
  • 规定尾数的最高位数值一定是个有效值
  • 左规：将尾数算数左移一位，阶码减一
  • 右规：将尾数算数右移一位，阶码加一
    • 右规：当使用双符号位的时候，同时有溢出发生时，可以进行挽救

举个例子：

规格化的特点：

小结：

3. IEEE 754

3.1 IEEE 754 移码

• 之前所说的移码：补码的基础上将符号位取反
  • 这里偏置值是128 = 2^（n-1）

• 移码的定义：移码 = 真值+偏置值

• IEEE 754 标准的移码

3.2 IEEE 754 浮点数表示

• IEEE 754 标准的浮点数
  • 尾数采取隐藏位策略的原码表示
  • 阶码用移码表示的浮点数
    • 阶码的全0 和 全1 用作特殊用途
    • 阶码的真值 = 移码 - 偏置值

举个例子：

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• 将十进制转换为单精度浮点数

• 将单精度浮点数转换为十进制数

3.3 IEEE 754 表示范围

• 单精度浮点数表示范围

• 双精度浮点数表示范围

• 阶码全0 和 全1的作用

  • 阶码全0 ： 可以表示比原来最小值还要小的数

  

  • 阶码全1 ：可以表示比原来最大数还要大的数

3.4 小结

• 由浮点数如何确定真值？
  • 根据 ”某浮点数“ 确定数符，阶码，尾数
  • 确定尾数 1.M (注意补充最高的隐含位)
  • 确定阶码的真值 = 移码 - 偏置值（可将移码看作无符号数，用无符号数的值减去偏置值）
  • （-1）^s * 1.M * 2^(E - 偏置值)

4. 浮点数的计算

• 首先还是从10进制浮点数原理开始说起
  • 分为几个步骤
    • 对阶 ： 小阶向大阶看齐
    • 尾数加减 ：通常使用双符号位，拯救溢出
    • 规格化 ： 左规和右规操作
    • 舍入
    • 判断溢出

4.1 二进制浮点数计算

• 二进制举个例子
  • 无需舍入的例子如下：

4.2 舍入的方法

• 舍入的方式

  
  • 0 舍 1 入 法 ： 当舍弃的数字是1的时候，给末尾的数字加1
  • 恒 置 1 法：无论舍弃的值为什么，把最后一位改为1

5. 浮点数 强制类型转换

• 无损的转换类型(32 位 情况下)

char -> int -> long -> double
float -> double

## 注意 ： 在64位的情况下 long -> double 有精度损失

1. 
int -> float : int有效位32 float有效位24 会有精度的损失
float -> int ： 可能会溢出也可能会有精度损失（int 没有小数部分）

6. 浮点数小结

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