Leetcode-120-三角形最小路径和

题目描述

• 给定三角形，每次智能移动到下一行的相邻节点，求从顶点到底边的最小路径和。

[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
相邻结点：与(i, j) 点相邻的结点为 (i + 1, j) 和 (i + 1, j + 1)。

方法：动态规划

分析： 若定义 f(i, j) 为 (i, j) 点到底边的最小路径和，则易知递归求解式为:

f(i,j) = min(f(i + 1,j) + f(i + 1,j + 1)) + trangle[i][j]

由此，我们将任一点到底边的最小路径和，转化成了与该点相邻两点到底边的最小路径和中的较小值，再加上该点本身的值。这样本题的 递归解法（解法一） 就完成了。

代码实现

解法一：递归

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        return  dfs(triangle, 0, 0);
    }

    private int dfs(List<List<Integer>> triangle, int i, int j) {
        if (i == triangle.size()) {
            return 0;
        }
        return Math.min(dfs(triangle, i + 1, j), dfs(triangle, i + 1, j + 1)) + triangle.get(i).get(j);
    }
}

暴力搜索会大量重复计算，导致超时，因此会在解法二中结合记忆化数组进行优化。

解法二：递归+记忆化

在解法一的基础上，定义了二维数组进行记忆化。

// 方法一： 记忆化搜索 + 递归
class Solution {
    Integer[][] memo;
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        memo = new Integer[triangle.size()][triangle.size()];
        return dfs(triangle,0,0);
    }

    private int dfs(List<List<Integer>> triangle, int i, int j) {
        if (i == triangle.size()){
            return 0;
        }
        
        // 递归保存
        if (memo[i][j] != null){
            return memo[i][j];
        }
        
        // 保存每一个memo[i][j]
        return memo[i][j] = Math.min(dfs(triangle,i + 1,j),dfs(triangle,i + 1,j + 1)) + triangle.get(i).get(j);
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N^2)，N 为三角形的行数。
• 空间复杂度：O(N^2)，N 为三角形的行数。

解法三：动态规划

• 定义二维 dp 数组，将解法二中「自顶向下的G递归」改为「自底向上的递推」。

1. 状态定义

dp[i][j] 表示从点(i,j) 到 底边的最小路径和

2. 状态转移

dp[i][j] = min(dp[i + 1][j],dp[i + 1,j + 1]) + triangle[i][j]

3. 初始化

dp[i][j] = 0

4. 代码实现

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        // dp[i][j] 表示从点 (i, j) 到底边的最小路径和。
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        // 从三角形的最后一行开始递推。
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0][0];
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(N^2)，N 为三角形的行数。 空间复杂度：O(N^2)，N 为三角形的行数。

空间优化的动态规划

• 在上述代码中，我们定义了一个N行N列的dp数组（N是三角形的行数）。
• 但是在实际计算中我们发现，计算dp[i][j] 时候，只用到了下一行的dp[i + 1][j] 和 dp[i + 1][j + 1].
• 因此dp数组不需要定义N行，只要定义一行就可以了，所以我们稍微修改一下上述代码，将 i 所在的维度去掉（如下），就可以将 O(N^2) 的空间复杂度优化成O(N)

// 动态规划
class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();

        // 1. 状态定义
        // dp[i][j] 表示从点 (i, j) 到底边的最小路径和。
//        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        int[] dp = new int[n + 1];

        // 2. 状态转移
        // 从最后一行向上递推
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j <= i ; j++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N^2)，N 为三角形的行数。
• 空间复杂度：O(N)，N 为三角形的行数。

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