Leetcode-509-斐波那契数

题目描述

斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给你 n ，请计算 F(n) 。

示例 1：

输入：2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：

输入：3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：

输入：4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

思路一 ： 动态规划

• 斐波那契数的边界条件是 F(0) =0 和 F(1)=1。

• n>1时，每一项的和都等于前两项的和，因此有如下递推关系：

  • ​ F(n)=*F(n−1)+F(n−2)

• 由于斐波那契数存在递推关系，因此可以使用动态规划求解。动态规划的状态转移方程即为上述递推关系，边界条件为 F(0) 和 F(1)。

• 根据状态转移方程和边界条件，可以得到时间复杂度和空间复杂度都是 O(n) 的实现。

• 由于 F(n) 只和 F(n-1)与 F(n-2)有关，因此可以使用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成 O(1)。

class Solution {
    public int fib(int n) {
        // 1. 特判
        if(n < 2){
            return n;
        }
        // 2.初始化变量
        int dp_a = 0;
        int dp_b = 0;
        int dp_i = 1;
        // 3. 滚动数组：动态规划
        for(int i = 2;i <= n;i++){
            dp_a = dp_b;
            dp_b = dp_i;
            dp_i = dp_a + dp_b;
        }
        return dp_i;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)。
• 空间复杂度：O(1)。

思路二 ： 数学通项

• 斐波那契数 F(n)是齐次线性递推，根据递推方程 F(n)=F(n-1)+F(n-2)可以写出这样的特征方程：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        double sqrt_5 = Math.sqrt(5);
        double fib_n  = Math.pow((1 + sqrt_5)/2,n) - Math.pow((1 - sqrt_5)/2,n);
        return (int)Math.round(fib_n/sqrt_5);
    }
}

复杂度分析

• 与各个语言的pow 函数有关

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