计算机组成原理-04-数据的表示

计算机组成原理-04-数据的表示

前言

• 本篇内容多涉及计算，内容较为硬核，请耐心观看

1. 定点数和浮点数的区别

• 根据小数点的位置是否固定，在计算机内有两种数据格式

  • 定点数
  • 浮点数

• 定点表示：约定机器数中的小数点位置固定不变，小数点不再用“,”表示，而是约定了它的位置

2. 无符号数和有符号数

• 无符号数：指整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位。若机器字长为8位，则数的表示范围 0~2^8-1 , 即0~255。
  • 无符号数一般只代表整数，不代表小数
• 有符号数：在机器中，数的正负我们无法识别，但是我们可以用二进制数来代替正负号。一般‘0’为正，‘1’为负，符号位一般在有效数的最前面。若机器字长为8位，是有符号数，则数的表示范围为 -2^72^7-1 ，即-128127。

3. 定点数的表示

• 定点小数：一般将小数点的位置固定在数据的最高位之前。
• 定点整数：一般将小数点的位置固定在数据的最低位之后。

3.1 原码

• 用机器数的最高位来代表该数的符号，其余的各位表示数的绝对值

3.2 反码

• 反码通常用于原码求补码的中间过渡
• 反码
  • 若符号位为0，则反码和原码相同
  • 若符号位为1，则数值位全部取反

3.3 补码

• 正数的补码和原码相同
• 负数的补码
  • 先求出反码
  • 反码的基础上+1（需要注意进位的问题）

• 补码如何求原码？
  • 正数的补码和原码一样
  • 负数 ：数值位全部取反，然后+1

3.4 移码

• 移码的特性：非常方便比较大小
• 只能用于表示整数

3.5 例题小结

• 如何从[x]补 求得 [-x]补
  • 技巧：符号位 数值位 全部取反
  • 并且末尾+1
• 转换技巧小结

4. 补码的作用和由来

• 原因：原码的加减法和无符号的加减法的差异
  • 因此需要涉及一种算法：用加法代替减法

• 模m计算法则（详情请学习离散数学）
  • 如采用时钟，则相当于对12取模（-3和9的地位是等价的）
  • (mod 12)相当于把所有的整数分为了12类（余数为0-11）
  • mod12 属于相同的数，都是属于同一类，是等价的
  • 图示如下：这样就相当于把-3 改为了 +9等等（加法代替了减法）
  • 这里的 -3 和 9 互为补数，他们的绝对值之和是等于模的（12）

• 如计算机的机器字长是8bit，那么超出这个范围的话，只保留8为，那么就相当于mod 2^8 的条件
  • 那么补数 = 2^8 - 负数的绝对值
  • 补数 就是 补码的原生定义
  • 针对上个例子如图所示

• 再来看个例子
  • 补码的加减法：符号位一起加入计算
  • 注意：加法会有溢出的产生

5. 定点数的移位运算

5.1 算数移位

5.1.1 原码的移位规则

1. 整数的算数右移
   • 相当于除以2的操作
   • 高位补0，低位舍弃
   • 若舍弃的位不等于0，那么会造成精度的丢失

2. 整数的算数左移
   • 相当于乘以2的规则
   • 低位补0，高位舍弃
   • 若舍弃的位不等于0，则会造成严重的精度错误

3. 小数的原理同整数

5.1.2 反码的算数移位

1. 正数的反码移位

• 同原码

2. 负数的反码移位

• 右移除2，高位补1，低位舍弃
• 左移乘2，低位补1，高位舍弃
• 因为原码和反码的0和1互为相反

5.1.3 补码的算数移位

1. 正数的反码移位

• 同原码

2. 负数的反码移位

• 右移除2，补位同反码 ，高位补1，低位舍弃
• 左移乘2，补码同原码 ，低位补0，高位舍弃
• 负数补码 = 反码末尾+1
  • 导致反码最右边几个连续的1都因进位而变为0，直到进位碰到第一个0为止
• 规律 ： 负数补码中，最右边的1及其右边同原码，最右边的左边同反码

5.1.4 算数移位小结

5.2 逻辑移位

• 看作对无符号数的算数移位
• 左移右移都补0

1. RGB的应用

• 用3B来存储RGB的值
• 不断的右移就是RGB对应的机器码

5.3 循环移位

• 对于加法产生的进位超过数据字长
  • 计算机采用进位位（CF）来记录进位值的大小
  • 具体左移右移如下所示
  • 作用：适合将数据的高位和低位进行调换（大端存储和小端存储）

5.4 小结

6. 定点数的溢出

发生的原因及分类

• 上溢：两个正数相加得到一个负数
• 下溢：两个负数相加得到一个正数

举例描述

• 三位二进制位的原码加法

6.1 原码加法的规则

6.2 采用一位符号位

• 符合规律
  • 正 + 正 = 负
  • 负 + 负 = 正

6.3 采用一位符号位并判断进位

• 符号位的进位和最高数位的进位C1

  • 相同则说明没有溢出
  • 否则表示发生了溢出

• 计算机可以简单的通过异或两个进位的值运算得到是否产生溢出

6.4 采用双符号位

• 双符号位又叫做模4补码
• 正数的符号位是00
• 负数的符号位是11

结果规则：

• 符号位00 ：结果为正 无溢出
• 符号位11 : 结果为负 无溢出
• 10 ： 1表示原来的应该是负的 结果却是正的
• 01 ： 0表示原来的应该是正的 结果却是负的

举个例子：

注意：

• 使用双符号位：并不是有两个符号位，而是机器复制了一个符号位，这样并不会造成数据的扩展

6.5 溢出的原因

• 目前的计算结果超出了机器字长所能表示的范围

符号扩展

• 正整数的扩展
  • 在符号位后的高位补上0
• 负整数的扩展
  • 原码：在符号位和数值位之间补0
  • 反码：在符号位和数值位之间补1
  • 补码：在符号位和数值位之间补1
    • 找到最右边的1
    • 右半部分同原码
    • 左半部分同反码

小数的扩展

• 正小数
  • 在尾部添加0
• 负小数
  • 原码 ：在末尾添0
  • 反码 ： 在末尾添1
  • 补码 ： 在末尾添0
    • 找到最右边的1
    • 右半部分同原码
    • 左半部分同反码

7. 定点数的乘/除法原理

7.1 乘法原理

1. 首先看看10进制乘法原理

2. 二进制的原码乘法

3. 以上是手算的方式，如果考虑用计算机如何实现？
   • 实际的数字有正负，符号位如何处理
   • 乘积的位数扩大一倍，如何处理？
   • 4个位积都要保存下来，最后统一相加？

7.1.1 原码一位乘法计算

• 首先回忆一下运算器的组成

• 对于乘法而言（实现方法：先加法再移位 重复n次）

• 原码一位乘法计算方法：

举个例子

• 手算做题过程：采用双符号位

• 本质 ： n 轮的加法和逻辑右移

7.1.2 补码的一位乘法（Booth 算法）

• 计算方式

• 所谓的辅助位：初始化就是在最后加了一位0

• 实现方式： n 轮加法 和 补码的算数移位（最后还需多一轮加法，符号位）

举个例子 ： 需要采用双符号位

• 手算过程 ： 双符号位

7.1.3 小结

7.2 除法原理

• 首先来看看十进制除法（思想：尽可能拼凑出余数）

• 手算二进制除法举例

• 再来回顾运算器的组成

7.2.1 原码的一位除法（恢复余数法）

• 符号单独用异或来确定。
• 计算机会默认上商1，如果搞错了再商0，并且恢复余数。

计算方式如下所示：

• 数值位为 n , 逻辑左移需要作n 次
• 加法 n + 1次

举个例子

• 恢复余数法（手算）

7.2.2 原码的一位除法（不恢复余数法）

计算方法如下

• 上面那个例子，中间过程推导一下，如下图所示：

• 操作合并为 ：（余数*2 + 除数）

小结：

• 加/ 减 共 n + 1 次，每次加减确定一位商
• 左移 n 次，最后一次加减完不移位
• 最后因为余数可能为负，还需要一次的恢复余数

7.2.3 补码的一位除法运算

补码除法

• 符号位参与运算
• 被除数/余数，除数采用双符号位

规则如下

举个例子

注意

• 末位的商恒为1，这样带来的误差是非常小的
• 补码商最后一步，不需要恢复余数

除法小结

8. C语言中的强制类型转换

• 前提 ： C语言中的定点整数使用补码进行表示的
• 注意：数值范围没有负数的则为无符号位的数，有负数范围的则为有符号位的数

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输出时：
%u无符号十进制整数
%d有符号十进制整数
%0无符号八进制
%x无符号十六进制整数
在计算机中数据都是以补码形式存储的，%u无符号输出，没有符号位，是正数；%d有符号输出，有符号位，符号位在最高位。

8.1 有符号和无符号的转换

• C语言中常利用强制类型转换，有时候强制类型转换的结果却不是我们希望得到的，因为计算机存储数据是以补码形式存储的。
• 有时候强制类型转换可能会改变数值，可能是数据类型有无符号位导致的。
  • 无符号位是正数就不用转换，因为正数原码=补码
  • 有符号位的数，根据符号位是0还是1来判断是否需要转换，那么如果符号位是1，是负数就要转换，数值当然会不同。

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main(int argc, char *argv[]) {
	short x=-4321;
	unsigned short y=(unsigned short)x;
	printf("x=%d,y=%u\n",x,y);
	return 0;
}

结果如下：

• 可以看出y值和x值没有一点关系，咱们将其都转换成二进制，我们便知道了为什么。且看二进制转换表；

• 由于电脑是64位，所以转换就是64个二进制数，至于为什么16位往左所有数都是1，这就涉及到了符号扩展

小结：

• 可以看出，强制类型转换结果相应位置的值不变，仅仅只改变了解释这些位的方式，是short解释，还是unsigned short 解释，这两种方式。

同样的我们再看一段代码仔细揣摩揣摩：

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main(int argc, char *argv[]) {
	unsigned short x=65535;
	short y=(short)x;
	printf("x=%u,y=%d\n",x,y);
	return 0;
}

• 相应位置数值相等，但是表示结果不同，那是因为解释方式不同；unsigned short 和short两种解释 方式。

8.2 不同字长的整数之间的转换

8.2.1 大字长变量向小字长变量强制类型转换

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main(int argc, char *argv[]) {
	int x=165537,u=-34991;  //int 4B  
	short y=(short)x,v=(short)u; // short 2B
	printf("x=%d,y=%d\n",x,y);   
	printf("u=%d,v=%d\n",u,v);
	return 0;
}

// 当大字长变量向小字长变量强制类型转换时，系统将多余的高位字长部分直接截断舍去，低位直接赋值

结果显示：

小结：

• 当大字长变量向小字长变量强制类型转换时，系统将多余的高位字长部分直接截断舍去，低位直接赋值

8.2.2 小字长变量向大字长变量强制类型转换

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main(int argc, char *argv[]) {
	short x=-4321; // short 2B
	int y=x; //	int 4B
	unsigned short u=(unsigned short)x; //无符号数的符号拓展直接高位添0即可
	unsigned int v=u;
	printf("x=%d,y=%d\n",x,y);   
	printf("u=%u,v=%u\n",u,v);
	return 0;
}

结果显示：

• 这里我们转换成十六进制输出

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main(int argc, char *argv[]) {
	short x=-4321; // short 2B
	int y=x; //	int 4B
	unsigned short u=(unsigned short)x;//无符号数的符号拓展直接高位添0即可
	unsigned int v=u;
	printf("x=%d,y=%d\n",x,y);   
	printf("u=%x,v=%u\x",u,v);
	return 0;
}

小结

• 短字长整数到长字长整数的转换，不仅要使相应的位置相等，高位部分还会扩展为原数字的符号位。

• char类型为8位ASCII码整数，转换成int型时，高位部分补0即可。ASCII码由7位二进制数字组成。

• 无符号数的符号拓展直接高位添0即可

9. 数据的存储和排列（大小端模式）

• 注意：在计算机系统中，我们是以字节为单位的，每个地址单元都对应着一个字节，一个字节为 8bit。

  • 现代计算机基本都采用的是字节编址，即每个地址编号中存放1个字节的数据。
  • 多字节的数据都存放在连续的字节序列中，根据数据中各字节在连续字节序列中的排位顺序不同，可以分为
    • 大端模式
    • 小端模式

• 大端模式：指数据的高字节保存在内存的低地址中，而数据的低字节保存在内存的高地址中，这样的存储模式有点儿类似于把数据当作字符串顺序处理：地址由小向大增加，而数据从高位往低位放；这和我们的阅读习惯一致。

  • 符合人类阅读的习惯
  • 高地址：存放最低有效字节
  • 低地址：存放最高有效字节

• 小端模式：指数据的高字节保存在内存的高地址中，而数据的低字节保存在内存的低地址中，这种存储模式将地址的高低和数据位权有效地结合起来，高地址部分权值高，低地址部分权值低。

  • 符合机器的处理方式

9.1 大小端的原因？

• 在计算机系统中，我们是以字节为单位的，每个地址单元都对应着一个字节，一个字节为 8bit。
• 在C语言中除了8bit的char之外，还有16bit的short型，32bit的long型（要看具体的编译器），另外，对于位数大于 8位的处理器，例如16位或者32位的处理器，由于寄存器宽度大于一个字节，那么必然存在着一个如何将多个字节安排的问题。 因此就导致了大端存储模式和小端存储模式

• 对于 大端模式，就将0x11放在低地址中，即0x0010中，0x22放在高地址中，即0x0011中。
• 小端模式，刚好相反。我们常用的X86结构是小端模式，而KEIL C51则为大端模式。很多的ARM，DSP都为小端模式。有些ARM处理器还可以随时在程序中(在ARM Cortex 系列使用REV、REV16、REVSH指令 )进行大小端的切换。

9.2 边界对齐的存储方式

• 假设存储字长32位，可按字节、半字和字寻址。
  • 位、字节、字是计算机数据存储的单位。
  • 位是最小的存储单位，每一个位存储一个1位的二进制码，
  • 一个字节由8位组成。
  • 而字通常为16、32或64个位组成。
  • 一个存储字可以是多个字节组成。
• 对于32位计算机，数据以边界对齐方式存储，半字地址一定是2的整数倍，字地址一定是4的整数倍，这样无论所取的数据是字节、半字还是字。均可一次访存取出。
  • 所存储的数据不满足上诉要求时，通过填充空白字节使其符合要求。这样虽然浪费了一些存储空间，但是却提高了取指令和取数据的速度。
• 不按边界对齐方式存储的缺点：半字长或字长的指令可能会存储在两个存储字中，此时需要两次访存
  • 并且对高低字节的位置进行调整、连接后才能得到想要的完整指令或数据，从而影响了指令的执行效率和速度。

举个例子：

注意：

• 边界对齐的存储方式使用了空间换时间的策略